Zagadnienia do egzaminu kwalifikacyjnego z dyscypliny Matematyka

  • Domkniętość widma operatora ciągłego w przestrzeni Banacha.
  • Zasada jednostajnej ograniczoności (szkic uzasadnienia).
  • Rozwinięcie w szereg Fouriera funkcji całkowalnej z kwadratem (i charakter jego zbieżności).
  • Zbieżność w normie operatorowej a silna zbieżność ciągu operatorów.
  • Zależność między operatorami symetrycznymi i samosprzężonymi.
  • Własności widma operatorów zwartych.
  • Przykład miary spektralnej, twierdzenie spektralne.
  • Przykłady zastosowań twierdzenia Hahna-Banacha.
  • Definicja przestrzeni mierzalnej, σ-algebra Borela.
  • Uzasadnienie, że każde odwzorowanie ciągłe jest mierzalne względem σ-algebr zbiorów borelowskich.
  • Dowód że każda funkcja mierzalna jest granicą pewnego ciągu funkcji prostych i mierzalnych. 12. Definicja miary. Własności ciągłości miar.
  • Konstrukcja miary Lebesgue’a (w Rn).
  • Definicja całki Lebesgue’a z funkcji ograniczonej.
  • Twierdzenie Lebesgue’a o zmajoryzowanym przechodzeniu do granicy pod znakiem całki.
  • Różniczkowanie w dziedzinie zespolonej. Równania Cauchy’ego-Riemanna.
  • Twierdzenie całkowe Cauchy’ego.
  • Rozwijalność funkcji analitycznej w szereg potęgowy.
  • Rozwijalność funkcji w szereg Laurenta.
  • Twierdzenie o jednoznaczności funkcji analitycznej.
  • Definicja przestrzeni topologicznej. Przykłady.
  • Definicje funkcji ciągłych w przestrzeniach topologicznych. Homeomorfizmy.
  • Iloczyn kartezjański przestrzeni topologicznych. Topologia Tichonowa.
  • Definicja ciągu uogólnionego. Zbieżność w przestrzeni topologicznej.
  • Zwartość obrazu zbioru zwartego przez przekształcenie ciągłe (uzasadnienie)