Matematyka

1. Zastosowanie metod teorii rozpraszania oraz metod teorii przestrzeni Kreina do badania operatorów nie samosprzężonych

Promotor:dr hab. Sergiusz Kużel, prof. AGH

Wydział Matematyki Stosowanej

Streszczenie: Stałe zainteresowanie teorią spektralną operatorów nie samosprzężonych znacznie wzrosło w ciągu ostatnich dwudziestu lat. Jest to spowodowane niedawnym postępem w PT-symetrycznej mechanice kwantowej doi.org/10.1142/q0178 . Podstawową ideą zagadnienia badawczego jest analiza spektralna nie samosprzężonych operatorów (hamiltonianów PT-symetrycznych) z naciskiem na zastosowanie metod teorii przestrzeni Kreina oraz teorii rozpraszania. Zagadnienie badawcze stanowi kontynuację istniejących projektów badawczych: ”Application of Krein spaces methods” oraz ”Lax-Phillips scattering method and its applications”, www.researchgate.net/profile/Sergii_Kuzel

Liczba miejsc: 1

 

2. Globalna i lokalna nieregularność grafów.

Promotor:prof. dr hab. Mariusz Woźniak

Wydział Matematyki Stosowanej

Streszczenie: Celem projektu jest uzyskanie nowych wyników dotyczących szeroko rozumianego problemu rozróżniania wierzchołków grafu. Rozróżnienie to wynika w ten czy inny sposób z kolorowania krawędzi grafu. Każde takie kolorowanie przypisuje wierzchołkom grafu palety kolorów tj. multizbiory kolorów krawędzi incydentnych. Palety te są wykorzystywane do rozróżniania wierzchołków. Jeśli kolorowanie jest ogólne to możemy m.in. rozważać zbiory jak i multizbiory. Z reguły jako kolory występują liczby ze zbioru {1, 2, . . . , k}, w związku z tym możliwe są tez operacje arytmetyczne na kolorach. Zagadnienia prowadzące do rozróżniania wszystkich wierzchołków grafu rozważane są od ponad trzydziestu lat. Problemy kolorowania krawędzi w sposób rozróżniający jedynie sąsiadów pojawiły sie dopiero w XXI wieku zyskując od razu duże zainteresowanie. Ostatnio, pojawiły sie nowe idee i ich systematyczna analiza wydaje się potrzebna i bardzo obiecująca.

Zaplecze badawcze: Projekt dotyczy teoretycznych badań z matematyki, i wymagane zaplecze badawcze jest bardzo skromne (dostęp do internetu, drukarki, sal seminaryjnych i konsultacyjnych). Wydział dysponuje takim zapleczem.

Liczba miejsc: 5

 

3. Grafy dowolnie podzielne.

Promotor:dr hab. Rafał Kalinowski

Wydział Matematyki Stosowanej

Streszczenie: Grafy dowolnie podzielne zostały zdefiniowane na początku XXI wieku (niezależnie w Paryżu i Koszycach) w związku z zastosowaniami w informatyce. Są to takie grafy, które można podzielić na spójne podgrafy o z góry zadanych rzędach. Od kilkunastu lat problematyka ta jest intensywnie badana w wielu ważnych ośrodkach na świecie, m.in. w Wielkiej Brytanii, Węgrzech, Polsce, Niemczech, Holandii i USA. Dziesiątki artykułów zostało opublikowanych w matematycznych i informatycznych czasopismach naukowych rangi międzynarodowej. Pojawiło się wiele modyfikacji problemu dowolnej podzielności grafów. Sformułowano wiele problemów otwartych i wiele z nich doskonale nadają się na rozprawę doktorską.

Zaplecze badawcze: Wydział Matematyki Stosowanej zapewnia uczestnikom Szkoły Doktorskiej odpowiednie warunki do pracy naukowej, w tym biurko z dostępem do komputera i drukarki oraz Internetowych baz danych i czasopism matematycznych.

Liczba miejsc: 2

 

4. Granice odwrotne, atraktory i zbiory obrotu.

Promotor:prof. dr hab. Piotr Oprocha

Wydział Matematyki Stosowanej

Streszczenie: Praca doktorska dotyczyć będzie zastosowania granic odwrotnych do konstrukcji różnych ciekawych atraktorów. W centrum zainteresowań będzie także możliwość zanurzenia w płaszczyznę continuum wraz z odwzorowaniem, tak by dało się je rozszerzyć do całej płaszczyzny. Głównym obiektem badań będą continua nierozkładalne. Badany będzie także kształt zbioru obrotu dla atraktorów w torusie dwuwymiarowym, oraz inne własności dynamiczne atraktorów uzyskanych poprzez zastosowanie granic odwrotnych.

Zaplecze badawcze: Doktorant będzie miał dostęp do standardowych narzędzi w pracy matematyka, takich jak: komputer, specjalistyczne czasopisma i monografie, mathscinet i inne bazy referencyjne. W razie potrzeby, doktorant będzie miał także dostęp do specjalistycznego oprogramowania matematycznego (mathematica, maple, mathlab).

Liczba miejsc: 1

 

5. Lokalny lemat Lovásza i metoda kompresji entropii w kolorowaniu grafów.

Promotor:dr hab. Jakub Przybyło

Wydział Matematyki Stosowanej

Streszczenie: Lokalny lemat Lovásza jest jednym z podstawowych narzędzi wykorzystywanych w metodzie probabilistycznej, stosowanej od kilkudziesięciu lat w szeroko pojętej kombinatoryce do rozwiązywania problemów, których niejednokrotnie nie udało się zgłębić innymi metodami. Metoda kompresji entropii jest stosunkowo nowym podejściem, które zostało stworzone w ramach badań nad konstruktywną wersją lokalnego lematu Lovásza, która często daje lepsze rezultaty niż pierwowzór i zapewnia randomizowany algorytm znajdujący szukany obiekt czy strukturę. Przedmiotem zadania badawczego będą rozważania nad zastosowaniem wspomnianych metod do rozwiązywania problemów z dziedziny kolorowań i etykietowań grafów.

Zaplecze badawcze: Zadanie badawcze nie wymaga użycia żadnego specjalistycznego sprzętu. Promotor ma szeroką wiedzę i doświadczenie dotyczące zaproponowanej tematyki, co ma potwierdzenie m.in. w ramach kierowanych przezeń grantów oraz przedmiotu jego rozprawy habilitacyjnej.

Liczba miejsc: 1

 

6. Zagadnienia stabilności pewnych rodzin rozwiązań nieliniowych nielokalnych modeli ośrodków o złożonej strukturze wewnętrznej.

Promotor:dr hab. Vsevolod Vladimirov, prof. AGH

Wydział Matematyki Stosowanej

Streszczenie: Poszukiwanie fizycznie treściwych rozwiązań (w szczególności rozwiązań falowych) nieliniowych równań cząstkowych opisujących ośrodki strukturowane, takie jak ośrodki blokowe i granulowane, ośrodki wielofazowe, i t.p. Badanie stabilności spektralnej wskazanych rozwiązań metodami analitycznymi oraz numerycznie za pomocą metod opartych o funkcję Evansa. Badania numeryczne dynamiki i ewolucji rozwiązań falowych.

Zaplecze badawcze: komputer osobisty

Liczba miejsc: 1

 

7. Metody numeryczne dla zagadnienia dyfuzji wzajemnej.

Promotor: dr hab. Bogusław Bożek

Promotor pomocniczy: dr Lucjan Sapa

Wydział Matematyki Stosowanej

Streszczenie: Dyfuzyjny transport masy w układzie wieloskładnikowym z uwzględnieniem dryftu Darkena i przy założeniu, że spełnione jest prawo Vegarda opisywany jest układem nieliniowych silnie sprzężonych równań różniczkowych cząstkowych parabolicznych lub paraboliczno-eliptycznych z warunkiem początkowym i nieliniowymi sprzężonymi warunkami brzegowymi. Problemy: a) twierdzenia o istnieniu, jednoznaczności i własnościach słabych rozwiązań w stosownych przestrzeniach Sobolewa i rozwiązań klasycznych, b) konstrukcja algorytmów numerycznych (różnicowych, Galerkina) i twierdzenia o zbieżności i stabilności tych metod, c) zgodność między wynikami teoretycznymi, symulacjami komputerowymi i wynikami danych eksperymentalnych.

Liczba miejsc: 1

 

8. Wartości brzegowe funkcji holomorficznych.

Promotor: dr. hab. Piotr Kot

Wydział Matematyki Stosowanej

Streszczenie: Rozważymy obszary ściśle pseudowypukłe D w C^n (n>1) oraz funkcje holomorficzne f na D o zadanych z góry granicach niestycznych w prawie wszystkich punktach brzegu D. Jeśli granice modułu f są równe 1, to taka funkcja jest nazywana wewnętrzną i charakteryzuje się silnymi zachowaniami patologicznymi w pobliżu brzegu. W szczególności jeśli jest ciągła w jednym punkcie brzegowym to musi być stała. Będziemy badać rozmaite zachowania patologiczne funkcji f w pobliżu brzegu D. Zbadamy wpływ zer f na jej ewentualne zachowania patologiczne. Roważymy konstrukcje zbiorów szczytowych oraz maksymalnych modułowych.

Zaplecze badawcze: Do realizacji projektu wymagany jest dobry dostęp do literatury.

Liczba miejsc: 1

 

9. Kolorowania przełamujące automorfizmy grafów.

Promotor:dr hab. Monika Pilśniak

Drugi promotor:dr hab. Rafał Kalinowski

Wydział Matematyki Stosowanej

Streszczenie: Od kilkunastu lat problematyka przełamywania symetrii w strukturach dyskretnych (grafach, grupach, zbiorach częściowo uporządkowanych, przestrzeniach wektorowych itp.) znajduje się w głównym nurcie matematyki dyskretnej. Jest to spowodowane zastosowaniami w informatyce, ale przede wszystkim faktem, że w połowie pierwszej dekady XXI wieku, wielu wybitnych matematyków przystąpiło do badania tych zagadnień. W 2015 roku Kalinowski i Pilśniak opublikowali w czasopiśmie European Journal of Combinatorics pracę, w której zapoczątkowali badanie rozróżniających kolorowań krawędzi w grafach. Zdefiniowali indeks rozróżniający grafu jako najmniejszą liczbę kolorów w kolorowaniu krawędzi przełamującym wszystkie nietrywialne automorfizmy. Ten temat niemal natychmiast zyskał zainteresowanie i pojawiło się już kilka prac znanych matematyków w USA, RPA, Austrii, Słowenii, Iranu i Wielkiej Brytanii. Wiele otwartych problemów może być tematem prac doktorskich. Na przykład, optymalne ograniczenie indeksu rozróżniającego dla grafów z ograniczonym stopniem minimalnym. Innym problemem otwartym jest pytanie, czy przeliczalne grafy regularne, poza skończoną liczbą wyjątków, mają indeks rozróżniający nie większy niż dwa.

Zaplecze badawcze: Wydział Matematyki Stosowanej zapewnia uczestnikom Szkoły Doktorskiej odpowiednie warunki do pracy naukowej, w tym biurko z dostępem do komputera i drukarki oraz Internetowych baz danych i czasopism matematycznych. Promotorzy są znanymi ekspertami w dziedzinie przełamywania symetrii w grafach i zapewniają odpowiednie problemy do rozwiązania w rozprawach doktorskich.

Liczba miejsc: 2

 

10. Złożoność informacyjna problemów numerycznych.

Promotor:dr hab. Paweł Przybyłowicz

Promotor pomocniczy:dr Paweł Morkisz

Wydział Matematyki Stosowanej

Streszczenie: Praca badawcza dotyczyć będzie takich zagadnień jak: konstrukcja i analiza wydajnych metod numerycznych aproksymujących rozwiązania deterministycznych oraz stochastycznych równań różniczkowych, badanie optymalności algorytmów aproksymujących rozwiązania z wykorzystaniem narzędzi analitycznej złożoności obliczeniowej (Information-Based Complexity), wydajnej implementacji zdefiniowanych metod w CUDA C i wykonywaniu symulacji Monte Carlo na kartach graficznych (GPU), zastosowanie otrzymanych metod do praktycznych zastosowań jak np. wyceny instrumentów pochodnych, modelowanie procesów przemysłowych.

Zaplecze badawcze: Doktorant będzie miał dostęp do standardowych narzędzi w pracy matematyka, takich jak: komputer, specjalistyczne czasopisma i monografie, bazy referencyjne (jak, na przykład, MathSciNet). W razie potrzeby, doktorant będzie miał również dostęp do specjalistycznego oprogramowania matematycznego (Mathematica, Maple, Mathlab, Statistica). Dodatkowo, zapewniamy dostęp do wydajnej stacji obliczeniowej wyposażonej w akceleratory graficzne dla wykonywania równoległych obliczeń numerycznych. Co więcej możliwe jest także uruchamianie oprogramowania na infrastrukturze superkomputerów AGH.

Liczba miejsc: 3

 

11. Metody resamplingowe dla uogólnień procesów prawie okresowo skorelowanych.

Promotor:dr hab. Anna Dudek

Wydział Matematyki Stosowanej

Streszczenie: Wiele sygnałów z dziedziny fizyki i biologii nie może być w sposób wystarczający scharakteryzowane przy użyciu spektrum drugiego rzędu. Sygnały takie jak elektrokardiogram, dane telekomunikacyjne, astronomiczne i finansowe często zawierają nieregularne cykle i są niestacjonarne. W związku z tym ich analiza przy użyciu istniejących narzędzi jest problematyczna. Do ich modelowania używane są procesy niestacjonarne, które są uogólnieniem procesów prawie okresowo skorelowanych. Głównym celem problemu badawczego będzie rozważenie niestacjonarych procesów stochastycznych tj., procesy spektralnie skorelowane, uogólnione procesy prawie okresowo skorelowane oraz procesy oscylacyjne prawie okresowo skorelowane. W celu konstrukcji przedziałów ufności dla charakterystyk takich procesów, konieczne jest zaproponowanie nowych metod resamplingowych lub adaptacja istniejących algorytmów oraz okazanie ich zgodności.

Zaplecze badawcze: komputer

Liczba miejsc: 1

 

12. Totalne dominowanie w grafach.

Promotor:dr hab. Monika Pilśniak

Wydział Matematyki Stosowanej

Streszczenie: W grafie G bez wierzchołków izolujących podzbiór D zbioru wierzchołków nazywamy totalnie dominującym jeśli każdy wierzchołek grafu G sąsiaduje z wierzchołkiem ze zbioru D. Minimalną liczebność zbioru totalnie dominującego dla grafu G nazywamy totalną liczbą dominowania grafu i oznaczamy γt (G). Oczywiście w każdym grafie bez wierzchołków izolujących ten parametr jest co najmniej 2. Podstawową monografią w tym temacie jest monografia M. A. Henninga i A. Yeo, Total Domination in Graphs, in: Springer Monographs in Mathematics, 2013. Warto podkreślić, że promotor wpółpracuje właśnie z M.A. Henningiem. Sparowanym zbiorem dominującym w grafie G nazywamy zbiór dominujący D, taki że podgraf G indukowany przez D zawiera pełne skojarzenie.Każdy sparowany zbiór dominujący jest oczywiście zbiorem totalnie dominującym. Zatem sparowana liczba dominowania grafu jest nie mniejsza niż totalna liczba dominowania.Ta modyfikacja zbioru dominującego została zdefiniowana przez T.W. Haynes i P. J. Slatera w pracy Paired-domination in graphs. Networks 32 (1998), 199–206. W ramach tego zadania badawczego będziemy rozważać ciągle otwarte problemy i intrygujące hipotezy w tych dziedzinach. W szczególności zbadamy stabilność sparowanej liczby dominowania grafu. Mianowicie D. Bauer, F. Harary, J. Nieminen i C. Suffel w 1983 roku w pracy Domination alternation sets in graphs, Discrete Math. 47 wprowadzili stabilność totalnego dominowania jako minimalną liczbę wierzchołków w grafie, których usunięcie nie spowoduje powstania wierzchołków izolujących a zmieni jednocześnie wartość liczby totalnego dominowania. Spróbujemy między innymi wskazać górne ograniczenie dla tego parametru w przypadku sparowanego dominowania oraz dokładne wartości stabilności dla pewnych ważnych klas grafów.

Zaplecze badawcze: Wydział Matematyki Stosowanej AGH zapewnia wystarczające zaplecze badawcze dla doktoranta matematyki (biurko z dostępem do komputera, drukarki i internetu z dostępem do baz naukowych). Pani dr hab. Monika Pilśniak jest bardzo prężnie pracującym naukowcem – w ostatnich dwóch latach ponad 10 prac opublikowanych w międzynarodowych czasopismach z listy A MNISW, a 5 kolejnych jest wysłanych i opublikowanych w formie preprintów. Ostatnio nawiązała współpracę z M. A. Henningiem z Uniwersytetu w Johannesburgu z Republiki Południowej Afryki, który jest niekwestionowanym specjalistą w dziedzinie zbiorów totalnie dominujących w grafach (ponad 450 publikacji i ponad 2750 cytowań w bazie MathSciNet). W kolejnych latach M.A. Henning będzie prowadził wykłady na WMS AGH jako profesor wizytujący.

Liczba miejsc: 1

 

13. Algebry funkcji analitycznych.

Promotor:dr hab. Krzysztof Rudol

Wydział Matematyki Stosowanej

Streszczenie: Badanie własności widm łącznych związanych z algebrami funkcji analitycznych ograniczonych wielu zmiennych zespolonych i ich reprezentacji operatorowych. Badanie geometrii widm tych algebr i ich miar reprezentujących. Stosowanie metod teorii funkcji zespolonych, teorii miary, algebr jednostajnych i analizy funkcjonalnej.

Zaplecze badawcze: Możliwość współpracy z ekspertami z Uniwersytetu Jagiellońskiego i AGH, dostępność obszernej biblioteki Wydziału, profesjonalnych czasopism, dwa seminaria poświęcone analizie funkcjonalnej stosowanej i algebrom funkcyjnym, możliwości zastosowań w teorii sterowania reprezentowanej na jednym z wydziałów AGH.

Liczba miejsc: 1

 

14. Matematyka dyskretna.

Promotor:dr hab. Wit Foryś

Wydział Matematyki Stosowanej

Streszczenie: W ramach zagadnienia matematyki dyskretnej badania obejmą dyskretne modele oraz ich kombinatoryczne aspekty z uwzględnieniem kombinatoryki na słowach.

Zaplecze badawcze: seminaria WMS; możliwa realizacja w ramach projektów naukowych.

Liczba miejsc: 1

 

15. Nieskończone wymiarowe algebry Liego i cał­ko­walne nieliniowe równania różniczkowe.

Promotor:dr hab. Oleg Morozov

Wydział Matematyki Stosowanej

Streszczenie: Zastosowania teorii struk­­tu­ralnej nieskończenie wymiarowych algebr Liego do nielokalnej geo­met­rii całkowalnych nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych, w szcze­gól­ności analiza relacji między właściwościami algebr symetrii kontaktowej i istnieniem reprezentacji Laxa dla równań różniczkowych. Badanie deformacji pewnych nieskończenie wymiarowych algebr Liego, ich niecentralnych roz­sze­rzeń i powiązanych całkowalnych równań różniczkowych.

Zaplecze badawcze: komputer osobisty

Liczba miejsc: 1

 

16. Niezmienniki splotów skończonego rzędu w przestrzeni 3-wymiarowej.

Promotor:dr. hab. Leonid Plakhta

Wydział Matematyki Stosowanej

Streszczenie: Niezmienniki skończonego rzędu węzłów w przestrzeni 3-wymiarowej były wprowadzone V.Vassilievym w 1990r. W latach 90-ch XX wieku i w pierwszej dekadzie XXI wieku były otrzymane podstawowe wyniki dotyczące ich własności oraz relacji z klasycznymi wielomianami wężłów i splotów. Główne pytania dotyczące danych niezmiennikow, czy są one istotnie silniejsze od klasycznych wielomianowych niezmienników i czy potrafią rozróżnić wszystkie nierównoważne węzly, pozostają otwarte po dzień dzisiejszy. W przypadku splotów, istnieje kilka wersji niezmienników skończonego rzędu, w zależności od typu singularności i relacji równoważności (izotopii) na splotach. Jedną z takich wersji są niezmienniki Kirka-Livingstona splotów o dwóch składowych. W przestawionym projekcie skupimy się na następujących zagadnieniach:

1) Badanie algebraicznej struktury grupy niezmienników typu Kirka –Livingstona;

2) Konstrukcja konkretnych niezmienników typu Kirka –Livingstona splotów o dwóch i więcej składowych.

3) Wyjaśnienie geometrycznego sensu niektórych niezmienników danego typu oraz relacji ich z innymi klasycznymi niezmiennikami splotów.

Promotor ma istotny dorobek w teorii węzłów, w szczególności, dotyczący badania niezmienników skończonego rodzaju. Dane wyniki stanowiły istotną część jego rozprawy habilitacyjnej „Niezmienniki węzłów i powierzchnie w przestrzeni 3-wymiarowej” i są też opublikowane w następujących czasopismach:

1. L.Plachta, C_n-moves, braid commutators and Vassiliev knotInvariants, J. Knot Theory Ramifications, 13, No.6, 2004,09-828.

2. L.Plachta, Essential tori admitting standard tiling, Fundamenta Math., 189, 2006, 195-206.

3. L.Plachta, Knots, satellite operarions and invariants of finite order, J. Knot Theory Ramifications, 15, No.8, 2006, P.1061-1077.

4. L.Plachta , Genera, band sums of knots and invariants of finite order, Topology Appl., 2007, 154, 2880-2887.

5. L.Plachta, Invariants of knots, surfaces in R3 and foliations, Ukr. Math. Zh., 59, 2007, No.9, P.1239-1252

6. L.Plachta, Notes on tiled incompressible tori, Cent. Eur. J. Math., 10(6), 2012, pp.2200-2210

Liczba miejsc: 1

 

17. Uogólnione symetrie i redukcja nieliniowych równań różniczkowych typu ewolucyjnego.

Promotor:dr hab. Ivan Tsyfra

Wydział Matematyki Stosowanej

Streszczenie: Będziemy badali uogólnienie klasycznej symetrii Liego, a mianowicie symetrię punktową warunkową oraz symetrię Liego-Bäcklunda i ich zastosowanie do redukcji nieliniowych równań ewolucyjnych. Całkując uzyskane układy równań redukowanych, które są układami równań różniczkowych zwyczajnych możemy otrzymać rozwiązania rozpatrywanych równań różniczkowych cząstkowych. Glównie będą badane nieliniowe równania dyfuzyjne, dla których również pokażemy kiedy zastosowanie uogólnionej symetrii pozwala uzyskać rozwiązania, które nie można otrzymać w ramach klasycznego podejścia. Rozważymy również zastosowanie metody uogólnionej symetrii do równań całkowalnych. Badania będą opierać się na pracach

Fushchich W.I., Tsifra I.M. on a reduction and solutions of nonlinear wave equations with broken symmetry, J. Phys. A: Math. Gen. 1987, v.20, no. 2, L45-L48

Zhdanov R.Z., Tsyfra I.M. and Popovych R.O.A precise definition of reduction of partial differential equations, J. Math. Anal. Appl. 1999, v.238, 101—123

Tsyfra I. M. Symmetry reduction of nonlinear differential equations, Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine 2004, v.50, 266-270

Liczba miejsc: 1

 

18. Ważone przesunięcia na skierowanych semidrzewach.

Promotor: prof. dr hab. Petru Cojuhari

Promotor pomocniczy: dr Jerzy Stochel

Wydział Matematyki Stosowanej

Streszczenie: Należy zbadać podstawowe własności ważonych przesunięć na semidrzewach skierowanych.Planuje się opisanie zależności pomiędzy ważonymi przesunięciami na semidrzewach skierowanych a ich sprzężeniami. Należy scharakteryzować hyponormalność, kohyponormalność i subnormalność tych operatorów w języku ich wag.

Liczba miejsc: 1

 

19. Ciągła zależność w problemie zbieżności iteracji losowych.

Promotor: dr hab. Rafał Kapica

Wydział Matematyki Stosowanej

Streszczenie: Operatory Markowa działające na miarach odgrywają ważną rolę w opisie ewolucji rozkładów dla stochastycznych układów dynamicznych. Jedną z ważniejszych i dobrze zbadanych własności takich operatorów jest asymptotyczna stabilność, oznaczająca istnienie (jedynej) i przyciągającej miary niezmienniczej. Celem badawczym jest analiza miary niezmienniczej w zależności od zmiany parametrów operatora w kontekście zastosowań do iteracji funkcji o wektorowych wartościach losowych i liniowych równań iteracyjnych nieskończonego rzędu z uwzględnieniem równań skalujących;

Liczba miejsc: 1