Aktualności

Pisząc te felietony dokładam starań, żeby uwzględniać w nich bieżące zdarzenia w krakowskiej Nauce. Zdarzenia z których Czytelnicy Gazety mogą skorzystać. Dzisiaj jest właśnie taka możliwość.

Dawno temu (22.05.2009) w Dzienniku Polskim zamieściłem felieton „Niesprzeczność matematyki". Na ten tekst powołali się w liście do mnie dr Łukasz T. Stępień i dr Teodor J. Stępień, zapraszając na swój referat pt. "O niesprzeczności Arytmetyki Peano". Referatu tego można wysłuchać DZISIAJ o godzinie 12:00 na Uniwersytecie Pedagogicznym (ul. Podchorążych 2, sala 412N). Może ktoś skorzysta z zaproszenia?

Dla zachęty wyjaśnię, o co chodzi w tej niesprzeczności.

Problem ten wyłonił się na początku XX wieku. Matematycy zaczęli się wtedy martwić, czy matematyka nie jest wewnętrznie sprzeczna. Gdyby była, to można by było w niej udowodnić jakieś twierdzenie, a potem równie ściśle udowodnić twierdzenie przeciwne.

To by była katastrofa. Na matematyce oparta jest przecież cała współczesna technika. Jeśli budujemy most, to pewność jego bezpiecznego użytkowania opieramy na matematycznym wyliczeniu wytrzymałości. Ufnie wsiadamy też do samolotu, bo obliczenia zapewniły, że on bezpiecznie poleci i wyląduje. Na matematyce opiera się dziś gospodarka, korzysta z niej biologia, zaczynają ją stosować nauki społeczne...

Wyobraźmy sobie jednak, że korzystamy z matematyki która jest wewnętrznie sprzeczna. Wtedy twory techniki mogłyby działać lub ulegać katastrofie w zależności od tego, która z dwóch dowiedzionych matematycznie ewentualności (twierdzenie czy jego zaprzeczenie) w danym momencie znajdowałaby zastosowanie w rzeczywistym świecie.

Skąd to zatroskanie? Przecież nic takiego nigdy nie zaszło!

Nauka nie akceptuje argumentu, że skoro coś się nie wydarzyło, to się wydarzyć nie może. Zwłaszcza w matematyce jeśli chcemy czegoś być pewni - to musimy to precyzyjnie udowodnić. Właśnie takiego dowodu, że matematyka jest niesprzeczna, zażądał na początku XX wieku niemiecki matematyk David Hilbert.

Dlaczego właśnie wtedy? Przecież przez ponad dwa tysiące lat rozwijano matematykę z głębokim przekonaniem, iż to, co da się udowodnić matematycznie, jest absolutnie prawdziwe!

Jednak właśnie na początku XX wieku ta pewność zaczęła się kruszyć. Okazało się, że wiele pewników matematycznych da się zakwestionować. Na pierwszy ogień poszła geometria. Od czasów Euklidesa (który żył około 300 lat przed Chrystusem) wszyscy byli pewni, że teoria opisana w jego dziele Stoicheia geometrias (w Polsce znanego pod tytułem Elementy) jest czymś niewzruszenie pewnym. Na tej podstawie rozmierzano grunty, określano wysokość gór, planowano budynki, konstruowano maszyny - no i uczono w szkołach logicznego myślenia.

Każdy z nas uczył się kiedyś geometrii. Dla jednych była ona przyjemnością z powodu pięknej klarowności matematycznych wywodów, dla innych - udręką powracającą w nocnych koszmarach. Jednak wszyscy byliśmy przekonani, że konstrukcji geometrycznych twierdzeń i klarowności dowodów nic zarzucić nie można. 

Tymczasem dokładnie 10 czerwca 1859 r. Georg Friedrich Bernhard Riemann przedstawił wykład, w którym pokazał, że możliwe jest zbudowanie całkiem innej geometrii niż geometria Euklidesa. Geometrii, która też ma swoje aksjomaty, twierdzenia i dowody, więc jest pod każdym względem równie dobra jak Euklidesowa, ale całkiem inna. Odtąd matematycy mówili o dwóch różnych geometriach: Euklidesa i Riemanna które w różny sposób opisują przestrzeń i znajdujące się w niej obiekty. Na szczęście okazało się, że te dwie geometrie obowiązują w różnych skalach opisu świata. Na co dzień możemy się posługiwać geometrią Euklidesa, bo dla otaczających nas przedmiotów i zjawisk jest ona wystarczająca. Natomiast Einstein budując teorię względności skorzystał z geometrii Riemanna i na niej oparł opis Wszechświata.

Ale skoro jeden dział matematyki może mieć formę odmienną od powszechnie używanej, to może i inne działy matematyki (logika, arytmetyka, algebra itd.) mogą mieć swoje odmiany? I czy one wszystkie są niesprzeczne?

Problem niesprzeczności matematyki, który sformułował Hilbert, próbował rozwiązać między innymi sławny matematyk brytyjski Bertrand Russell. Nieskutecznie.

Najciekawsze nastąpiło jednak potem: W 1931 roku Kurt Gödel dowiódł, że niesprzeczności matematyki nie da się udowodnić. Nie że: my tu i teraz tego nie potrafimy zrobić. Tego nikt nigdy nie zrobi, bo to jest niemożliwe!

Twierdzenie Gödla zatrzęsło nie tylko matematyką, ale także filozofią. Pokazało, że sformalizowany system matematyczny jest niezupełny. Nie da się udowodnić każdej tezy. Większość nieprawdziwych twierdzeń można matematycznie obalić, większość prawdziwych udowodnić, ale nie wszystkie. Są tezy prawdziwe, ale niemożliwe do dowiedzenia.

Ale ludzie swoim umysłem także takie tezy odkrywają i wykorzystują.

Bo geniusz człowieka jest silniejszy.

Nawet od matematyki!

 

Prof. Ryszard Tadeusiewicz
Źródło: Gazeta Krakowska 2013.01.9